Кинематика – текст для внимательного чтения. Движение точки - изменение положения точки относительно других тел со временем. Видно, что относительно различных тел (точнее - относительно различных Систем Отсчета, аккуратное определение СО мы дадим позже, пока и так понятно) одно и то же движение может выглядеть по-разному. Положение точки в пространстве можно задавать координатами, либо при помощи радиус-вектора, следящего за точкой из начала координат (это совершенно эквивалентные вещи - положение конца вектора можно задать при помощи его координат).
Далее мы определили перемещение точки за интервал времени от t1 до t2 и среднюю скорость за этот же интервал времени. Еще раз хочу напомнить: перемещение и скорость - ВЕКТОРЫ! Средняя скорость за большой интервал времени очень плохо характеризует особенности движения точки - нужно больше информации. Этого достигают делением интервала времени на множество маленьких интервалов и нахождением средней скорости на каждом из них. На какое число маленьких интервалов следует разделить большой? Казалось бы (и так написано во множестве книг), что чем больше, тем лучше и следует делить все дальше и дальше… Однако, можно ограничиться достаточно малыми интервалами времени (ДМИВ) - за время такого интервала характер движения не должен заметно меняться: если точка движется по прямой равномерно, то за ЛЮБОЙ интервал времени получится одна и та же средняя скорость, а если неравномерно, то необходимое разделение будет зависеть от заданной точности определения скорости. В любом случае, стоит лишний раз уменьшить интервал (например, вдвое) - и посмотреть, уложится ли получившееся отличие в диапазон заданной погрешности. Если уложится, значит и делить дальше смысла не имеет, если нет - продолжим делить. Удобно рассмотреть пример: пусть при движении по прямой зависимость координаты точки от времени выражается квадратичной функцией x(t) = 10 + 5t2 (тут время - в секундах, координата - в метрах). Найти скорость в момент t1= 3с. Найти длительность интервала времени около указанного момента, при котором погрешность значения скорости не превысит 0,1%. И еще: попробуйте сделать то же самое при "буквенной" формулировке условия: x(t) = A + Bt2, нужно найти скорость V(t1) при погрешности не хуже n%. Примечание: если Вы умеете вычислять производные, то технически задача нахождения мгновенной скорости упрощается, но не стоит думать, что проблема этим будет исчерпана. На самом деле, если перейти к "бесконечно малым" интервалам времени в обычном математическом смысле, то возникнет резонный вопрос - а в самом ли деле имеет смысл сколь угодно малый интервал времени и как угодно малый вектор перемещения? Многие физические величины вовсе не делимы до бесконечности (заряд, например), делимо ли как угодно пространство и время - дело темное, "выигрыш" в строгости рассуждений при переходе к производным тут просто кажущийся. Впрочем, если Вы не знаете слово "производная", то и думать на эту тему не обязательно…
1. Точка движется по окружности равномерно. Радиус окружности 10 м, время полного оборота составляет 5 секунд. Найти величину средней скорости на интервале времени (0; 10c). То же на интервале времени (2с; 4,5с). Найти величину мгновенной скорости точки в произвольный момент времени.
2. При движении по прямой координата точки меняется со временем по закону x(t) = 5Sin10t. Найти среднюю скорость на интервале времени (1с; 2с). Найти мгновенную скорость V(0,1c).
3. Тело движется из начала координат вправо со скоростью 2 м/с. Другое тело движется навстречу со скоростью 3 м/с, в начальный момент времени тела находятся на расстоянии 30 м друг от друга. Нарисовать на одном графике координаты двух тел в зависимости от времени и найти ГРАФИЧЕСКИ координату точки встречи и время до встречи.
4. По прямому шоссе едет автобус, его скорость 10 м/с. Вы находитесь на расстоянии 100 м от шоссе, а расстояние по прямой до автобуса составляет 200 м. Ваша скорость может достигать 5 м/с. Успеете ли Вы добежать до какой-нибудь точки шоссе раньше, чем в нее приедет автобус?
5. На крыше сидит дятел и равномерно долбит ее клювом. Наблюдатель смотрит на него в бинокль и видит, что за одну минуту происходит ровно 60 ударов. Но на слух получается ровно 61 удар за минуту. Куда и с какой скоростью едет крыша относительно наблюдателя?
6. На первой половине пути автомобиля по прямой средняя скорость оказалась 40 км/час, на всем пути - 60 км/час. Найти среднюю скорость на второй половине пути.
8. Тело движется вдоль оси координат Х. Скорость тела пропорциональна его координате. Известно, что в точке с координатой х= 10 м скорость составляет V= 2 м/с. Найти ускорение тела в этой точке.
9. Верблюд удаляется от оазиса по прямой (ее продолжение проходит через центр оазиса), скорость верблюда падает по мере удаления от центра оазиса - она обратно пропорциональна этому расстоянию. Удалившись на 100 м верблюд имеет скорость 0,5 м/с. За какое время он пройдет еще 100 метров? (Задача имеет не только приближенное, но и формально точное решение).
10. Мячик брошен с балкона вертикально вверх и за последние 2 секунды движения его перемещение составило 30 метров. На какой максимальной высоте над землей мячик побывал? Ускорение свободного падения принять 10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь. Сразу после броска все балконы удалили, чтобы они не мешали движению.
11. Тело бросают из начала координат, придав ему скорость V. Сколько траекторий могут проходить через точку с координатами (x,y)?
12. На расстоянии L от Вас находится стена высоты Н. Вы бросаете камень с уровня земли, придавая ему скорость V. На какое максимальное расстояние по горизонтали Вы можете забросить камень?
13. Цилиндрическая горизонтальная труба имеет диаметр D= 2 м, ее ось находится на высоте Н= 3 м от земли. Какую минимальную скорость нужно придать камешку, чтобы при броске с уровня земли он перелетел бы через трубу, почти коснувшись ее в верхней точке траектории?
*14. Попробуйте решить эту задачу без дополнительного условия насчет верхней точки - просто перелет через трубу.
15. Точка движется по окружности радиуса R с постоянным по величине ускорением а. Чему равна максимальная скорость точки? **За какое минимальное время точка может разогнаться от нулевой до максимальной скорости?
16. Анна Каренина слышит звук камертона и с удивлением понимает, что вместо ноты "ля" звучит нота "си" той же октавы. Приближается поезд, или удаляется? Чему равна его скорость?
17. Точки А и Б отмечены на листе фанеры на расстоянии 1 м друг от друга, точка В находится посредине отрезка АБ. Лист фанеры скользит по плоскому столу. Скорость точки А в некоторый момент направлена вдоль прямой АБ и составляет 1 м/с, скорость точки В в этот момент равна по величине 3 м/с. Чему равна и куда направлена скорость точки Б в этот же момент?
Движение в поле тяжести. Часто этот раздел кинематики называют немного иначе - движение тела (иногда говорят про "материальную точку"), брошенного под углом к горизонту. Это название не слишком удачное - попробуйте бросить тело как-то иначе, не под углом к горизонту, а потом расскажете, что у Вас получилось… Но дело не в названиях - раздел этот для девятиклассников не слишком прост, многие задачи требуют изрядной сообразительности и аккуратности в "арифметической" части решения и тему нужно изучать серьезно. Итак задача: тело брошено из заданной точки под заданным углом альфа к горизонту, при броске ему сообщили известную скорость V0. Нужно описать движение тела при некоторых упрощающих предположениях - ускорение свободного падения g одинаково во всех точках, где тело побывало (можно сказать и иначе: "Землю считать плоской!"), сопротивлением воздуха при движении тела пренебречь. Не всегда эти предположения разумны - если бросить тело с очень большой скоростью, оно сможет улететь очень далеко от поверхности Земли, а там притяжение может серьезно ослабеть (а значит, и ускорение свободного падения нельзя будет считать неизменным - таким же, как и у поверхности). Да и сила сопротивления воздуха может играть очень важную роль (помню забавную задачу из одного сборника, там нужно было определить скорость парашютиста перед приземлением, а прыгал он с высоты , кажется, 1 км - и предлагалось сопротивлением воздуха пренебречь! Парашют предназначен как раз для всемерного увеличения сопротивления среды при движении, а если этот парашютист не раскрыл при прыжке парашют, то его следовало бы называть не парашютистом, а как-нибудь иначе…). Чаще всего мы просто вынуждены пренебрегать сопротивлением воздуха, чтобы не усложнять задачу до полной нерешаемости - но отличать случаи, в которых это предположение не слишком искажает ответ от прочих случаев следует уметь!
Для решения таких задач удобно применить математический прием - ввести вертикальную и горизонтальную оси координат и рассмотреть как бы два независимых простых движения вдоль этих осей. Почему так можно поступать - насколько независимы такие два движения? Что касается вертикального движения, это вполне разумно: бросим одновременно несколько тел с одинаковыми вертикальными и различными горизонтальными составляющими скоростей - все эти тела в любой момент времени окажутся на одной и той же высоте, одновременно достигнут верхней точки полета и одновременно упадут на Землю. А вот движения по горизонтали не совсем уж независимы от вертикальной компоненты скорости - тела брошенные с разными вертикальными и одинаковыми горизонтальными составляющими скорости упадут на Землю не одновременно, а значит, пролетят различные расстояния по горизонтали. Правда, это нетрудно учесть при решении задачи, просто говорить о "независимости движений" нужно аккуратно! Получившиеся движения довольно просты - особенно вдоль горизонтальной оси, это просто равномерное движение с постоянной скоростью VX=V0•cosα. Движение по вертикали происходит с постоянным ускорением и там все тоже просто. Выберем начало координат в точке броска, направление вертикальной оси вверх будем считать положительным (при этом ускорение вдоль этой оси получится "минус же"). Тогда координаты будут изменяться со временем так: X(t)= VX•t =V0•t•cosα и Y(t)= V0•t•sinα - 0,5•g•t2
Эти уравнения могут оказаться полезными, например, для такой задачи: камень бросают с высоты 1 м с начальной скоростью 20 м/с под углом 450 к поверхности. Перелетит ли он стену высоты 20 м, построенную на расстоянии 30 м от него? Выбрав Х=30 м, найдем время полета до стены "по горизонтали" t=30/(20•cos450) = 2,1 с (примерно, точно считать совсем необязательно - впрочем, это будет видно дальше). Теперь посмотрим - какая координата по вертикали будет через такое время и сравним ее с величиной (20 - 1) = 19 м: Y = 20•2,1•sin450 - 0,5•10•2,12 = 29 - 22 = 7 < 19 м. Итак, не перелетит, причем нехватка очень большая и точный расчет не был необходим, мы даже ускорение свободного падения разумно округлили! И учет сопротивления воздуха результат наш не изменит, даже еще труднее было бы перебросить стену. А вот при высоте стены 8 м пришлось бы повторить расчет, сделать его поточнее, да и ускорение свободного падения пришлось бы взять поаккуратнее, а если бы получился ответ типа "перелетит с запасом 5 см", то непременно нужно было бы сказать, что учет сопротивления воздуха тут просто необходим!
Еще одно важное замечание относительно полученных уравнений: до момента броска тело не двигалось (или, по крайней мере, двигалось не так), после падения на Землю эти уравнения тоже нельзя применять. Ясно, что нужно дополнительно записать ограничения для t в этих уравнениях: 0≤ t≤ tП.
Для многих применений полезно исключить из этих двух уравнений время t и получить одно уравнение, которое связывает между собой вертикальные и горизонтальные координаты для каждой из точек, в которых побывает тело при полете - это и есть знаменитое "уравнение траектории". Проще выразить t из первого уравнения и подставить во второе. После простых преобразований получим: Y = X•tgα - gX2/(2V02•cos2α) или Y = X•tgα - (gX2/2V02)•(1 + tg2α).
Второй вариант формулы удобнее - в нее входит только одна функция угла - "тангенс альфа". Предыдущую задачу при помощи этого уравнения можно было решить совсем просто - подставить вместо Х расстояние до стены 30 м и найти величину Y, после чего опять сравнить ее с величиной 19 м (с учетом того, что начало координат смещено вверх на 1 м - высота точки броска). Впрочем, при ее первом решении мы делали то же, что и при выводе формулы траектории. Но уравнение траектории подходит и для куда более сложных расчетов. Рассмотрим пример: тело бросают из точки, которая находится на высоте Н над поверхностью Земли. Точка, в которую нужно попасть, лежит на расстоянии L по горизонтали от точки броска. При какой скорости бросания это возможно? Понятно, что нужно найти минимальное значение скорости, а любое бОльшее значение условию задачи удовлетворяет. Ясно и то, что нам не задан угол бросания и его придется находить самостоятельно - этот оптимальный угол, при котором окажется достаточной минимальная скорость бросания. Если бы точки старта и финиша находились на одной высоте (случай Н= 0), то выгоднее всего было бы бросать под углом 45градусов. А в нашем случае придется думать.
Итак, запишем уравнение траектории, которая проходит через точку (-H,L): -H = L•tgα - (gL2/2V02)•(1 + tg2α). У нас получилось уравнение, в котором удобно рассматривать в качестве неизвестной величины значение tgα (если Вы привыкли обозначать неизвестные одной буквой, можно этот тангенс обозначить буквой Z, потому как X и Y уже заняты). Получится (gL2/2V02)•Z2 - L•Z + (gL2/2V02) - H = 0. Для любого значения скорости можно попытаться найти угол бросания. Сколько таких углов мы получим для каждого заданного значения скорости? Если скорость мала, то корней у нашего уравнения вообще не будет, если скорость достаточно велика, то корни будут, и их будет два, как у обычного квадратного уравнения. По мере уменьшения скорости бросания корни уравнения (т.е. подходящие углы) становятся все ближе друг к другу и при определенном (минимально возможном) значении скорости корни сливаются в один - это и есть оптимальный угол. Для нахождения минимальной скорости вовсе не обязательно решать полученное квадратное уравнение - достаточно исследовать его дискриминант. Посмотрим на дискриминант этого квадратного уравнения: D = L2 - 4•(gL2/2V02)•[(gL2/2V02) - H. Приравняем его нулю (условие на минимальную скорость бросания). Отсюда легко получить значение квадрата минимальной скорости: V02 = g[(H2 + L2)0,5 - H] . Для Н= 0 получим известное значение V02 = (gL)0,5 . Кстати, для уравнения с нулевым дискриминантом и оптимальный угол бросания находится легко. И еще - если бы в условии задачи мы задали расстояние L* между точками бросания и падения на Землю, а не расстояние L по горизонтали, ответ получился бы намного красивее: V02 = g(L*-H).
18. На расстоянии 40 м от стены высоты 30 м на горизонтальной поверхности находится игрушечная пушка, которая может стрелять куда угодно. При какой минимальной скорости снаряда он сможет перелететь через стену?
19. В предыдущей задаче скорость снаряда в 1,5 раза больше минимально необходимой. На какое максимальное расстояние от точки выстрела теперь можно забросить снаряд?
20. Большой зал с высотой потолка 10 м пересекает вертикальная стена толщины 4 м и высоты 9 м. С какой скоростью должен вылететь с уровня пола снаряд, чтобы перелететь на другую сторону зала, не коснувшись ни стены, ни потолка? Откуда надо стрелять, чтобы обойтись минимальной скоростью?
21. Вертикальная стена имеет высоту 45 м и толщину 40 м. С какой минимальной скоростью нужно бросить камень с поверхности Земли, чтобы он перелетел через стену не коснувшись ее и упал на Землю на расстоянии 20 м от стены?
22. Посреди огромного плоского луга стоит охотник маленького роста и палит во все стороны из ружья. Скорость пули 200 м/с. Написать уравнение поверхности, отделяющей безопасную область полета птиц от опасной.
23. На горизонтальном полу стоит цилиндр высоты 40 м и диаметра 20 м, его ось вертикальна. Из точки, находящейся на продолжении оси цилиндра, бросают горизонтально камень. С какой минимальной высоты его можно бросать, чтобы он, не коснувшись цилиндра, упал на пол на расстоянии 30 м от оси цилиндра? Найти скорость броска.
24. С балкона высоты 60 м под углом 600 к горизонту бросают камень, придав ему скорость 30 м/с. Через какое время расстояние между летящим камнем и точкой броска составит 100 м?
25. У нас в школе мне рассказали интересную историю. В те годы, когда ученики еще умели играть в баскетбол, в нашем спортивном зале один ученик бросил баскетбольный мяч другому, а тот поймал его ровно через 6 секунд, при этом мяч не касался стен, пола и потолка зала. Правдива ли эта история?
26. Корабль злобных пришельцев из космоса представляет собой цилиндр высотой 100 м и диаметром 100 м, стоящий вертикально на плоской поверхности. Единственной уязвимой точкой корабля является маленький люк, находящийся в центре верхнего круга, да и то только в том случае, если попавший в него снаряд имеет скорость не меньше 20 м/с и прилетает под углом к вертикали не более, чем 450 (данные получены из источника, заслуживающего полного доверия). В нашем распоряжении маленькая пушка, находящаяся на уровне земли. При какой минимальной скорости вылета снаряда из ствола пушки мы можем поразить корабль? Стрелять можно под любым углом и из любой точки на поверхности земли.
27. Потолок большого спортивного зала расположен на высоте 10 м над полом. С уровня пола под углом 450 к горизонту бросают маленький мячик. С какой скоростью его нужно бросить, чтобы он первый раз коснулся пола как можно дальше от точки броска? Найти это максимальное расстояние от точки броска до точки первого касания пола. Потолок очень гладкий, удар мячика о потолок можно считать абсолютно упругим. Ускорение свободного падения принять 10 м/с2.
Ускорение при криволинейном движении. Когда мы находили скорость точки, которая двигалась по кривой, мы заменяли кусочки кривой маленькими "хордами" (вспомним определение перемещения). Для скорости это подходит, а вот для ускорения - нет. В самом деле, при переходе от одного кусочка прямой к другому скорость мгновенно меняет направление, это означает, что в этом месте получается бесконечное ускорение. Конечно, это никуда не годится. Выход довольно прост - будем заменять маленькие участки кривой не хордами, а дугами окружностей, которые будут плавно переходить друг в друга. Конечно же, это не всегда может получиться, например, если траектория движения представляет собой квадрат, дуги не смогут "плавно" сопрягаться. Ничего страшного - двигаясь по такой траектории, точка просто обязана тормозить при подходе к "уголку" и в такой точке обязательно должна быть нулевая скорость (иначе там получится бесконечное ускорение, и на самом деле - а не потому, что мы что-то там неверно рассмотрели)! В таком месте траектории разные дуги можно и не сопрягать.
Как же подобрать "правильную" дугу, которая в заданном месте кривой практически совпадает с ней - ведь именно такая дуга нам нужна. Ясно, что она должна иметь общую касательную с кривой, а вот какой должен быть радиус дуги? Можно поступить совсем просто - если небольшой участок кривой мы считаем дугой окружности, то поступим с ним так, как будто это окружность и найдем положение ее центра. Для этого выберем еще две точки по обе стороны от "главной", проведем хорды, построим перпендикуляры к серединам этих хорд и в точке их пересечения получим искомый центр. Конечно, положение этого центра зависит от выбора дополнительных точек, при сближении их положение центра определяется все точнее. Начиная с некоторого положения точек, центр практически перестанет смещаться - в пределах выбранной заранее точности построения, дальше их можно не смещать. Если рядом окажется какой-нибудь математик, скажите ему, что точное положение центра получается в "предельном случае", он сразу от Вас отстанет. Центр окружности, дугу которой мы построили, называют "центр кривизны", а радиус этой окружности называют "радиус кривизны кривой в заданной точке". Кстати, особенно легко все это сделать в том случае, когда траектория представляет собой окружность…
Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории (примерно по той же причине, по которой сброшенная с самолета бомба всегда попадает точно в эпицентр взрыва - впрочем, многие школьные преподаватели ОБЖ считают, что это свойство характерно не для любой бомбы, а только ;) для ядерной). Как же может быть направлен вектор ускорения? Почти как угодно - единственное ограничение состоит в том, что вектор "смотрит" куда-то внутрь кривой, а не наружу. Разберем этот вопрос подробнее. Что будет, если ускорение все время направлено вдоль (или против) вектора скорости? Ясно, что направление скорости при этом не будет меняться, может меняться только величина скорости. А если при этом точка едет по кривой - как направление скорости в этом случае может оставаться постоянным? Ответ простой - точка в этом случае просто не может двигаться по кривой, только по прямой! А может ли ускорение все время быть перпендикулярным скорости? Да, может. Что интересного можно усмотреть в таком частном случае? Оказывается, в таком случае скорость может меняться только по направлению, а величина ее останется неизменной. Попробуйте это самостоятельно объяснить, если не получится - можете считать это очевидным… ;). В общем случае ускорение имеет обе составляющих (первую называют "касательной" составляющей, вторую - "нормальной", в ходу и другие термины для этих компонент - их часто называют "тангенциальной" и "центростремительной" составляющими), одна обеспечивает изменение модуля скорости, другая поворачивает вектор скорости, не меняя его величины. Обратите внимание на то, что мы описали простое разложение вектора ускорения на составляющие, но координатные оси "привязали" к направлению вектора скорости, а не выбрали неизменными, как вертикальную и горизонтальную - что хорошо подходило для изучения, например, движения тела, брошенного под углом к горизонту. Преимущества такого способа в том, что можно получить простую формулу для "нормальной" компоненты, она выражается через величину скорости в данной точке и значение радиуса кривизны траектории в этой же точке. Часто одного этого оказывается достаточно для решения довольно сложных задач.
Получим эту формулу. Рассмотрим вначале совсем простой случай - точка движется по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью V. Выберем малый интервал времени τ. За это время точка проедет (по кривой!) s = V•τ и радиус-вектор повернется на малый угол α= s/R = V•τ/R (напомним - угол тут измерен в РАДИАНАХ!). На такой же угол за этот интервал времени повернется вектор скорости (углы с взаимно перпендикулярными сторонами, однако…) и можно найти величину приращения скорости ΔV= V•α= V2•τ/R. Мы тут воспользовались малостью угла α - считая изменение скорости ("хорда") по формуле для длины дуги, но это правильно - ведь для нахождения мгновенного ускорения нам как раз и нужен очень малый интервал времени. Отсюда сразу получим величину ускорения a=ΔV/τ = V2/R. Тут же можно сообразить - куда направлен вектор ускорения а. Получившийся равнобедренный треугольник, составленный из двух векторов V и вектора, имеет очень малый угол α при вершине, оставшиеся два угла в сумме дают почти 1800, тогда каждый из них очень близок к 900. Из этого же треугольника видно, что приращение направлено в сторону центра окружности. Итак, в нашем случае ускорение направлено к центру окружности, а величину ускорения мы уже записали выше (понятно - почему это ускорение называют "центростремительным"). Кстати, на будущее: часто в книжках (особенно в старых) упоминают еще "центробежное" ускорение - так вот, ТАКОГО УСКОРЕНИЯ НЕТ!
Мы рассмотрели частный случай - движение по окружности, да еще с постоянной по величине скоростью. А как вывести формулу в общем случае (не по окружности, с меняющейся скоростью)? Идея очень проста - возьмем очень маленький интервал времени, выделим совсем малую часть кривой, найдем центр и радиус кривизны, и самое главное: приращение скорости "проведем" в два этапа, вначале повернем вектор скорости, не меняя его величины, а уже потом "удлиним" вектор скорости (самое трудное во всем этом - объяснить окружающим свои действия и суметь убедить их, что только так и можно действовать…). Теперь найдем "поворачивающее" ускорение и получим ту же формулу, что и для частного случая (если бы мы вначале удлинили вектор скорости, а потом его повернули, - получилось бы чуть другое выражение, но при очень малом интервале времени отличия получаются как угодно малыми, то же относится к случаю, когда мы поворачиваем и удлиняем в несколько этапов). Заодно мы найдем и формулу для касательной компоненты ускорения: ак = ΔV/Δt. Эта формула нуждается в пояснениях: тут изменение скорости - изменение модуля скорости, скалярная величина. Если бы не это, мы получили бы по этой формуле вектор ускорения точки, полное, "настоящее" ускорение точки, а мы уже решили находить компоненты вектора ускорения. И еще - а как по этой формуле найти величину касательного ускорения, нет ли и тут какой-нибудь простой формулы, вроде полученной для ускорения нормального? К сожалению, нет - в каждом конкретном случае придется эту величину считать по-своему. Впрочем, если величина скорости меняется со временем РАВНОМЕРНО и, например, за 2 секунды изменяется от 3 м/с до 6 м/с - касательная компонента аК= (6 - 3)/2 = 1,5 м/с2. А как узнать - равномерно ли меняется скорость точки со временем? Ну, это нужно внимательно изучить условие задачи - нет ли там такого упоминания… Если нет - считайте СРЕДНЮЮ величину. А если величина скорости задана какой-нибудь формулой? Тогда придется честно считать (тут может пригодиться умение "брать производные", хотя обычно можно обойтись и без этого). И, наконец, резонный вопрос: зачем все эти премудрости нужны, нельзя ли без них обойтись? Ответ такой - преимущества представления ускорения в этом виде проявляются в задачах по динамике движения точки (тела) по кривой, эти задачи могут быть довольно сложными, а возможность "в лоб" выразить одну из компонент ускорения может сильно все упростить.
28. Тело брошено под углом α к горизонту со скоростью V0. Найти радиус кривизны траектории в верхней ее точке.
29. То же самое - но на половине высоты подъема.
*30. Уравнение y= A•x2 B•x + C определяет параболу. Найти радиус кривизны около ее вершины и в точке x= x0.
31. На вершине сферической горки находится тело очень малых размеров. Какую минимальную скорость в горизонтальном направлении ему нужно придать, чтобы оно сразу же оторвалось от поверхности?
32. Точка начинает двигаться по окружности радиуса R=10 м, равномерно увеличивая скорость на 0,5 м/с за каждую секунду. Найти его полное ускорение через 10 с после начала движения. О работе и энергии. Кинетическая энергия материальной точки m при скорости V по определению равна mV2/2, для системы из нескольких материальных точек эта энергия равна сумме энергий отдельных точек. Для "сплошного" тела: нужно разбить его (мысленно!) на множество маленьких частей и посчитать полную энергию, считая эти части материальными точками. Тут есть небольшая тонкость - при поступательном движении сплошного твердого тела скорости всех точек одинаковы, так как вращение отсутствует, в таком случае сумма находится совсем просто. А что будет, если тело еще и вращается? В этом случае вращаются и маленькие кусочки тела, причем в случае твердого тела угловые скорости кусочков такие же, как и для всего тела - можно ли при этом не учитывать энергию вращения каждого из этих кусочков? Оказывается - можно! Дело в том, что при расчете энергии поступательного движения маленького кусочка нужно учитывать только уменьшение его массы (в N раз - при разбиении на N одинаковых кусочков), а для энергии вращения каждого из кусочков нужно учесть не только уменьшение массы, но и уменьшение размеров тела, а значит - и момента инерции, тогда получится уменьшение порядка N2 (покажите это сами). И если для обычного сочетания поступательного движения и вращения твердого тела энергия вращения (относительно центра масс тела) составляет заметную часть энергии центра масс (энергия поступательного движения), то для малых частей доля энергии вращения получается сколь угодно малой. Мы знаем, как посчитать для твердого тела эту суммарную энергию - как сумму энергии центра масс и энергии вращения относительно центра масс: K= m•V2/2 + I•ω2/2. В кинематике движение твердого тела можно представить в виде суммы поступательного движения ЛЮБОЙ точки тела и вращения вокруг нее - но при расчете кинетической энергии нужно брать именно центр масс, для другой точки такой простой формулы не получится.
Пример расчета: пусть по плоскости скользит, оставаясь параллельным этой плоскости, обруч радиуса R и массы М, скорости двух точек обруча, лежащих на противоположных концах одного диаметра, направлены в одну сторону перпендикулярно диаметру и составляют V1 и V2. Тогда скорость центра масс V= (V1 + V2)/2 и угловая скорость вращения ω = (V1 - V2)/2R. Полная кинетическая энергия обруча при таком движении K = mV2/2 + Iω2/2 = M•(V1 + V2)2/8 + M•R2•(V1 - V2)2/8R2 = M•(V12 + V22)2/4. Немного более сложная формула получилась бы для сплошного однородного диска - в ответ вошло бы кроме квадратов скоростей еще и их произведение.
Если речь идет о работе силы, приложенной к простому телу - материальной точке, то все просто. Работа определяется произведением силы на перемещение этой точки (ну, еще нужно учесть угол между ними, а если сила неодинакова в разных местах, то разбить перемещение на мелкие участки, а потом суммировать произведенные малые работы). Сложнее дело, если силы действуют на систему материальных точек, или на сплошное тело. В этом случае перемещения разных частей системы различны, при вычислении формально определенной РАБОТЫ нужно разобраться с этими перемещениями. Пример: мотоциклист разгоняется, подняв переднее колесо мотоцикла, ускорение по горизонтали сообщает ему сила трения, которая действует на ведущее колесо со стороны Земли. Совершает эта сила трения работу, или не совершает? Ведь при движении без проскальзывания ПЕРЕМЕЩЕНИЕ В ТОЧКЕ ПРИЛОЖЕНИЯ силы равно нулю! Вспомним расчет ускорения обруча, который катится без проскальзывания по шероховатой наклонной плоскости - при энергетическом подходе мы не учитывали работы силы трения, а брали только работу силы тяжести (или - изменение потенциальной энергии обруча) и получали правильный ответ… Говоря немного иначе - определять "РАБОТУ СИЛЫ" можно, в общем-то, как угодно, вопрос в том, что потом делать с полученной при конкретном расчете "работой". Рецепт тут такой: если перемножать силы на перемещение какой-нибудь ОДНОЙ точки тела, то при суммировании останутся только ВНЕШНИЕ силы, выбирая разумно эту точку мы можем получить полезную величину - если взять в качестве этой точки ЦЕНТР МАСС тела, то полученная величина даст нам изменение кинетической энергии центра масс (при этом будет учтена только энергия поступательного движения тела, часто нас именно это и интересует). А если каждую из сил перемножать на перемещение точки ее приложения, то в ответ войдут и внутренние для системы силы, зато получится изменение ПОЛНОЙ энергии системы, включающей и энергию вращения. Энергетический баланс при движении мотоциклиста можно обсуждать по-разному, либо говорить о работе силы трения и перемещении центра масс, либо учитывать работу ВСЕХ сил, включая внутренние (напомним, что без этих внутренних не возникнет и сила трения - кто-то ведь пытается "проворачивать" с усилием ведущее колесо… При грамотном подходе ответы получаются одинаковые ;-).
Кстати, про внешние силы и энергию центра масс - умножая (скалярно) сумму ВСЕХ сил, которые действуют на тело, на перемещение центра масс мы получим после простых преобразований изменение кинетической энергии этого центра масс: F•V = M•a•V = M•V•ΔV/Δt (тут сила - это сумма всех внешних сил, скорость и ускорение - для центра масс, "жирные" величины - векторы). Отсюда: ΔA= F•Δs = F•V•Δt = M•V•ΔV = Δ(MV2/2). Суммируя малые работы, получим выражение для полной работы "над центром масс системы": A = ΔA1 + ΔA2 + … + ΔAN = MV2КОН/2 - MV2НАЧ/2.
Решим полезную задачу. На шероховатой горизонтальной плоскости лежит цилиндрическая бочка массы М, радиуса R с моментом инерции I (относительно продольной оси, проходящей через центр). На бочку намотана легкая нерастяжимая нить и конец нити тянут горизонтально силой F. Считая, что бочка катится без проскальзывания, найти ускорение бочки и величину силы трения.
Решение. Обозначим ускорение центра буквой а, тогда конец нити движется по горизонтали с ускорением 2а. Работа силы F за интервал времени τ составит F•(2a•τ2/2). Работа силы трения (с учетом неподвижности нижней точки) равна нулю. Тогда ПОЛНАЯ энергия бочки M•(a•τ)2/2 + I•(a•τ/R)2/2 равна произведенной работе. Отсюда a = 2F/(M + I/R2).
Другое решение этой части задачи: запишем уравнение моментов сил относительно точки касания бочки со столом, не равен нулю только момент силы F, а момент инерции нужно взять относительно оси, проходящей через точку касания I*= I+MR2. F•2R = I*•ε = I*•a/R. Отсюда получаем тот же ответ для ускорения a = 2F/(M + I/R2).
Еще одно решение можно получить, записывая уравнения сил и моментов относительно центральной оси (f - сила трения): F - f = Ma …(1) и F•R + f•R = I•ε = I•a/R …(2). Из этой системы уравнений получается тот же ответ для ускорения.
Первое из этих уравнений позволяет найти величину силы трения после вычисления ускорения и в предыдущих вариантах решения этой задачи: f = F - Ma = F - 2F/(1 + I/M•R2) = F(I/M•R2 - 1)/(1 + I/M•R2). Для обруча (вся масса сосредоточена "на периферии" тела вращения) получается любопытный нулевой ответ. Но еще интереснее ответ в остальных случаях, когда момент инерции меньше величины MR2 - отрицательная сила трения. Это означает, что она направлена вперед! Как это получается? Ну, это легко объяснить (но ПОСЛЕ получения неожиданного ответа) - если бы трения не было, бочка двигалась бы с ускорением F/M и вращалась по часовой стрелке с угловым ускорением ε = F•R/I > a/R. При этом нижняя точка движется назад - а значит, сила трения направлена вперед.
Последнюю формулу полезно получить и другим способом - не из уравнения моментов сил, а из энергетических соображений. Ускорение центра масс a = F/M (трения нет!), обозначив угловое ускорение ε, получим для перемещения конца нити S= a•τ2/2 + εR•τ2/2. Работа силы F равна ПОЛНОЙ энергии бочки (трения опять же нет!): F•S = M•(a•τ)2/2 + I•(ε•τ)2/2. После подстановки перемещения конца нити S и ускорения центра масс бочки а получим уже записанное раньше значение углового ускорения ε = F•R/I.
1. Маятник представляет собой длинный, тонкий, жесткий однородный стержень длины L. Верхний конец стержня закреплен шарнирно и позволяет маятнику свободно колебаться так, что стержень все время остается в одной вертикальной плоскости. Маятник отводят от положения равновесия на угол 900 и отпускают. Найти скорость свободного конца стержня в нижнем положении. Если Вам нужна масса стержня - то она М.
2. Маятник представляет собой длинный, тонкий, жесткий и очень легкий стержень длины L, на конце которого закреплен однородный диск радиуса r =L/10. Другой конец стержня закреплен шарнирно и позволяет маятнику свободно колебаться так, что диск все время находится в плоскости колебаний. Маятник отводят от положения равновесия на угол 900 и отпускают. Найти скорость центра диска в нижнем положении. Если Вам нужна масса диска - то она М. Какой была бы скорость центра диска в нижнем положении, если бы он мог все время свободно вращаться относительно своей оси?
*3. Легкая нерастяжимая нить с грузами М1 и М2 на концах переброшена через блок в виде диска радиуса R и массы m, его момент инерции относительно оси I, трение между блоком и нитью велико. С какой силой нужно тянуть ось блока вверх, чтобы ускорение этой оси составило a = g/5?
4. Блок из предыдущей задачи катится без проскальзывания вниз по шероховатой наклонной плоскости с углом ? при основании. Найти величину и направление силы трения. При каком минимальном коэффициенте трения он может двигаться по плоскости без проскальзывания?
*5. Длинный, тонкий, жесткий однородный стержень длины L и массы М подвешен в горизонтальном положении за концы при помощи двух легких нерастяжим
|
